﻿%这是地基规范的说明

\setcounter{chapter}{7}
\newpage
\chapter{基础}
\section{锥形独立基础}
\subsection{抗冲切}
下面计算现浇锥形基础的抗冲切承载力。使用的公式为《地基基础设计规范》中
的公式。模型如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p1.jpg}
\end{center}
下面计算抗冲切承载力。如上图所示
\[ A_l = L(\frac{b - C_b}{2} - h_0) \]
\[ F_l =  p_jL(\frac{b - C_b}{2} - h_0) \]
又根据规定有~$\beta_{hp} = 1.0$，基础混凝土采用C25的，所以~$f_t = 1.27$，
并且有
\[ a_t = C_L ,\quad a_b = L \]
\[ a_m = \frac{a_t + a_b}{2} = \frac{C_L + L}{2} \]
所以
\[ 0.7\beta_{hp}f_ta_mh_0 = 0.7\times 1.0\times 1.27\times\frac{C_L + L}{2}\times h_0
                         = 0.444(C_L + L)h_0
\]
根据规范的规定，应该满足
\[ 0.444(C_L + L)h_0 \ge p_j(\frac{b - C_b}{2} - h_0)L \]
\[ \frac{(C_L/L + 1)h_0}{b - C_b - 2h_0} \ge 1.125p_j \]
\[ \frac{C_L/L + 1}{(b - C_b)/h_0 - 2} \ge 1.125p_j \]
应该注意的是，上面的结果代入公式时，都应该以“N,mm”为单位代入计算。
比如如果~$p_j = 80kN/m^2 = 0.08N/mm^2$，这是应该注意的。\newpar

本质上，上面的表示和规范上的公式大同小异，不过这里的表示有一些优点。比
如左边是基础尺寸相关的东西，右边仅仅是~$p_j$，两者分开了。所以左边的数
值是关于这个基础抗冲切的固有值，只与基础尺寸，混凝土强度有关。而右边则
只与~$p_j$~有关。这样更方便于计算抗冲切承载力。因为实际情况中有多个荷载
组合，原则上在每个荷载组合下都要计算一下抗冲切承载力，这样工作量是很大
的。如果先计算出这个基础抗冲切的固有值，再分别验算每个荷载组合下产生
的~$p_j$，就很简单了。并且左边的表示是用相关的基础尺寸的比值表示的，算
出来的数比较小，算起来很方便。\newpar

当然实际上独立基础都是用软件计算的，并且基础的抗冲切很容易满足。所以上
面的公式的主要优点是可以快速估计抗冲切承载力。作为估算，可以把~$p_j$~取
为地基承载力特征值。一般情况下，地基反力都小于这个特征值。所以可以不
管~$p_j$~到底是多少，直接按地基承载力特征值验算，这样是偏于安全的。
\newpar

为了说明抗冲切承载力是很容易满足的，下面计算一个实例。主要的数据如下
\[ b = 2500,\quad L =1900,\quad h_0 = 600 \]
\[ C_b = 500,\quad C_L = 400 \]
那么代入上式计算基础的抗冲切承载力固有值，结果是~$0.9$，那么这个基础的
抗冲切承载力就应该满足
\[ 0.9 \ge 1.125p_j \]
实际上就是
\[ p_j \le 0.8(N/mm^2) \]
以上的数值是以“N，mm”为单位的，换算成常用的“kN，m”为单位就是
\[ p_j \le 800(kN/m^2) \]
一般较大的地基承载力特征值也就是二百千帕多一点，更小的是一百多千帕，
对比这个基础抗冲切的固有值，可以看出小的太多了。所以基础的抗冲切承载力是
很容易满足的。如果抗冲切不满足，可以增大~$h_0$，这样做可以稳定的增加
抗冲切承载力。\newpar

上下两边的抗冲切承载力的计算方法是一样的，就是把一些符号对换一下。为方
便起见，下面给出左右两边和上下两边的抗冲切承载力。首先是\empha{混凝土强
  度等级是C25}的情况：
\[ \frac{C_L/L + 1}{(b - C_b)/h_0 - 2} \ge 1.125p_j \]
\[ \frac{C_b/b + 1}{(L - C_L)/h_0 - 2} \ge 1.125p_j \]
下面是\empha{混凝土强度等级是C30}的情况，这种情况下抗冲切承载力是增强
了，经过换算是
\[ \frac{C_L/L + 1}{(b - C_b)/h_0 - 2} \ge 0.999p_j \]
\[ \frac{C_b/b + 1}{(L - C_L)/h_0 - 2} \ge 0.999p_j \]
为什么系数变小了？因为系数变小了，$p_j$~才能增大。严格来说应该把系数除
到左边，这样左边就包含了混凝土强度这个因素，才是真正的抗冲切固有值，现
在还不是。但是这样表示要漂亮些。\newpar


\subsection{基础底板弯矩计算}
在《建筑地基基础设计规范》上“基础”，“扩展基础”这一节给出了独立基础
底板弯矩的计算公式(8.2.11)，下面是该公式的计算过程。此公式中所给出的弯
矩有两项，一项是地基反力对底板产生的弯矩，一项是基础自重及土重对底板产
生的弯矩。现在把公式(8.2.7-4)中的弯矩略去，只考虑地基反力所产生的弯矩，
那么公式(8.2.7-4)就变成了
\begin{eqnarray*}
M_I &=& \frac{1}{12}a_1^2\left[(2l + a')(p_2 + p) + (p_2 - p)l\right] \\
&=& \frac{1}{12}a_1^2\left[p(l + a') + p_2(3l + a')\right]
\end{eqnarray*}
这个数值应该是地基反力积分所成的。下面直接进行积分，看一看是不是这个结
果。地基反力的形状和在水平面上的投影参见下图
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p4.jpg}
\end{center}
如上图所示，地基反力在~$a_1$~处对基础底板产生的弯矩是
\[ M = \int_0^{a_1}p(t)\cdot dt\cdot l(t)\cdot t \]
其中
\[ p(t) = p + \frac{(p_2 - p)}{a_1}t ,\quad t\in[0,a_1] \]
\[ l(t) = a' + \frac{(l - a')}{a_1}t , \quad t\in[0,a_1] \]
那么代入计算（过程略）得到结果
\[ M = \frac{1}{12}a_1^2[p(l + a') + p_2(3l + a')] \]
这和公式(8.2.7-4)去掉基础自重和土重之后化简所得结果一样。这就是该公式的
来历。该公式同时有优点和缺点。优点是该公式适用性强，不管基础底板有没有
零应力区，该公式都是正确的。缺点是计算不方便，里面的一些参数都需要具体
计算，有的参数还要计算插值公式。还要计算土重和基础自重，首先还要算出体
积，这些都是相当麻烦的。幸好大多数情况下不需要手工去计算一个独立基础，
因为有~PKPM~这种软件替我们算了。如果没有软件，结构工程师肯定会累死的。
\newpar

另外规范上还给出了另一个公式(8.2.7-5)，这是另一个方向上的弯矩值。可以肯
定的是这个弯矩值小于(8.2.7-4)中的弯矩值。至于这个公式怎么来的，就算了，
不进行计算了。


\subsection{其它的问题}
\btitle{独立基础上部是否需要配钢筋？}
如果柱子传给基础的弯矩很大，那么基础一侧在自重和其上土重的作用下，可能
会出现负弯矩。那么基础上部到底要不要配钢筋呢？我问了几个人，有人说基础
上部有负弯矩，有人说没有。基本上我认为在某种情况下，基础上部有可能受拉，
基础一侧会出现负弯矩。不过规范上没有给出这方面的内容。这是为什么呢？在
这种情况下，一般基础底板的厚度都比较大，也许仅靠混凝土自身就可以抵抗这
个负弯矩了。我没有实际算过。\newpar


\subsection{独立基础长宽比}
一般情况下应小于2，也可以大于2，但不能大于3，这个见《建筑地基基础设计
规范》，扩展基础这一部分。如果长宽比介于2与3之间，那么钢筋的布置方式都
会发生变化。见本条所说。如果钢筋计算出来的面积是~$A_s$，单根钢筋的面积
为~$A_{s1}$，阴影部分的钢筋间距是
\[ d_1 = \frac{1}{\lambda}\cdot\frac{lA_{s1}}{A_s} \]
阴影部分之外的钢筋间距是
\[ d_2 = \frac{(\omega - 1)}{(1 - \lambda)}\cdot\frac{lA_{s1}}{A_s} \]
钢筋间距还要满足其它要求。


\subsection{独立基础实用计算公式}
地基规范上已经给出了计算独立基础各项指标的公式，只是公式中有一些参数还
需要进一步的计算。下面给出这些参数的计算方法，再配合规范上的公式，很快
就能算出一个独立基础了。首先是受冲切承载力截面高度影响系
数~$\beta_{hp}$，规范上说的插值公式如下
\[ \beta_{hp} = \frac{16}{15} - \frac{h}{12000} \]
其中~$h$~的数字按毫米代入。另外的几个参数是计算基础底板弯矩中的。地基规
范8.2.11条列出了计算两个方向的弯矩的公式。其中有几个参数需要事先计算一
下。要计算底板弯矩，首先就得计算出~$p_{max},p_{min}$~这两个参数。考虑基
础的荷载轴向压力~$F$，基础及土的自重~$G$，一个方向的弯矩~$M$，具体参见
地基规范GB50007-2011中图8.2.11，根据这个图，列力与弯矩的平衡方程，经计
算得到
\[ p_{max} = \frac{(F + G)}{bl} + \frac{6M}{b^2l} \]
\[ p_{min} = \frac{(F + G)}{bl} - \frac{6M}{b^2l} \]
另外一个参数是~$p$，按插值公式，它的计算公式是
\[ p = p_{min} + \frac{(b - a_1)(p_{max} - p_{min})}{b} \]
另外的参数是~$a'$，它的计算公式是
\[ a' = a + \frac{(b - h - 2a_1)(l - a)}{(b - h)} \]
另外一个参数是~$b'$，它的计算公式是
\[ b' = h + \frac{(a' - a)(b - h)}{(l - a)} \]
偏心率按下面的公式计算
\[ e = \frac{M}{(F + G)} \]
另外还要计算独立基础的自重和覆土的自重。首先要算出独立基础的体积。独立
基础的几何尺寸按地基规范图8.2.11确定。其中基础底板边缘的高度记
成~$h_1$，从此向上到柱底的高度是~$h_2$，从柱底向上到地面的高度记
成~$h_3$，基础的埋深记成~$D$，那么它们满足
\[ D = h_1 + h_2 + h_3 \]
记~$h_1$~范围内的基础体积是~$V_{con1}$，记~$h_2$~范围内的基础体积是~$V_{con2}$，
记~$h_3$~范围内的基础体积是~$V_{con3}$，记基础的总体积是~$V_{con}$，那么它们满足
\[ V_{con} = V_{con1} + V_{con2} + V_{con3} \]
下面给出几个体积的计算公式，它们分别是
\[ V_{con1} = blh_1 \]
\[ V_{con2} = \left[(hl + ab) + 2(bl + ah)\right]\frac{h_2}{6} \]
\[ V_{con3} = ahh_3 \]
现在可以算出整个锥形基础的体积，乘以重度就是基础自重标准值。然后是覆土
的体积记成$V_t$，基础的体积加覆土的体积记成~$V$，那么有下面的公式
\[ V = blD \]
\[ V_t = V - V_{con} \]
现在算出了基础上覆土的体积，乘以土的重度就是土的自重标准值。接下来就可
以算出参数~$G$~了。有了这几个参数的计算公式，两个方向的弯矩就很容易计算
出来了。\newpar

通过上面的计算我觉得规范写得实在是太简洁了，很多参数都要自己进行计算。
如果要手算的话，经常会因为参数太多，需要计算的太多，并且有许多公式不知
道，导致计算无法进行。通常情况下很少有人会在实际的工作中用手去计算一个
独立基础，这是很麻烦的一件事。实际的计算都交给我们的~PKPM~了。



\section{杯口基础}
\subsection{杯口基础与高杯口基础的区别}
待续。


\subsection{杯口基础杯壁的配筋}
参见《建筑地基基础设计规范》，“基础”，“扩展基础”第8.2.4条。虽然杯口
基础在某种情况下需要根据计算配筋，但是在设计中应该尽量避免出现需要计算
配筋的情况。可以调整杯口基础的相关尺寸，使得杯口基础不需要配筋或者仅需
要构造配筋。并不是计算多就是高手，相反的我认为高手就是要避免进行过多的
计算。我一向对规范上的文字性叙述晕头转向，为了方便起见，把它们列成表格
的形式
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
$t/h_2$   &  [0.5,\quad 0.65)  & [0.65,\quad 0.75)  & [0.75,\quad ) \\ \hline
轴心受压   &  不配（或构造）       & 不配                & 不配 \\ \hline
小偏心受压  &  构造配筋           & 不配                & 不配 \\ \hline
大偏心受压  &  计算配筋           & 计算配筋             & 不配 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
如前所述，尽量调整杯口基础的尺寸，以保证不配筋或者构造配筋。如果能够保证
\[ t/h_2 \geq 0.75 \]
那么不管基础的受力状态如何，都可以不配钢筋。所以杯口基础的尺寸应该尽量
满足上式。这是最简单也是最保险的做法。



\section{高杯口基础}
待续。


\section{墙下条形基础}
\subsection{弯矩公式的分析}
规范上说墙下条形基础每延米宽度的弯矩，可按下式计算
\[ M = \frac{1}{6}a_1^2(2p_{max} + p - \frac{3G}{A}) \]
下面是这个公式的来历。计算简图如下所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p21.jpg}
\end{center}
如图所示建立一个坐标系，原点取在墙根处。弯矩有两部分组合而成，一部分由
地基反力产生，一部分由基础自重及回填土产生。下面分别计算。首先是地基反
力产生的那部分弯矩。距离原点水平距离为~$x$~处的地基反力是
\[ p(x) = p_1 + \frac{(p_2 - p_1)}{a_1}x,\quad x\in[0,a_1] \]
地基反力对墙根产生的弯矩是
\[ M_1 = \int_0^{a_1} p(x)\cdot 1\cdot dx\cdot x = \int_0^{a_1} p(x)xdx  \]
经过计算，它的结果是
\[ M_1 = \frac{a_1^2}{6}(2p_2 + p_1) \]
下面计算基础自重及回填土产生的弯矩。这部分是
\[ M_2 = (\frac{G}{A})\cdot(a_1\cdot 1)\cdot\frac{a_1}{2}
       = \frac{a_1^2}{2}(\frac{G}{A})
\]
这部分弯矩是负弯矩，需要减去。最后的结果就是
\[ M = M_1 - M-2 = \frac{a_1^2}{6}(2p_2 + p_1 - \frac{3G}{A}) \]
\midpar

\subsection{弯矩公式的适用条件}
根据上面的计算，这个弯矩公式的适用条件是
\[ p_1 \geq 0 \]
也就是地基反力的零应力区不能出现在~$(0,a_1]$~这个区间。根据地基规范
“承载力计算”这一节的公式，要求满足
\[ 3(\frac{b}{2} - e) \geq a_1 \]
就是
\[ e \leq (\frac{b}{2} - \frac{a_1}{3}) \]
\[ e = \frac{M}{F + G} \]
使用规范的弯矩公式时应该检查这个条件。


\section{柱下条形基础}
待续。


\section{高层建筑筏型基础}
\subsection{地基规范条文说明}
\btitle{结构竖向荷载在准永久组合下的偏心距e的要求}
在《建筑地基基础设计规范GB50007-2011》第8.4.2条中要求偏心距e满足下面的
规定
\[ e \leq 0.1W/A \]
如果筏板基础是个矩形的话，可以稍加计算一下。按地基承载力那一节的设定，
基础的两个边长是~$b,l$，其中~$l$~垂直于偏心距方向。那么
\[ W = \frac{b^2l}{6},\quad A = bl \]
代入就是
\[ e \leq 0.1\frac{b}{6} \]
其中~$e \leq b/6$~是基底不出现零应力区的条件。对于阀基来说，要求更严格，
是该条件的十分之一。根据地基承载力的计算公式
\[ P^{max}_{min} = \frac{N}{A}(1 \pm \frac{e}{b/6}) \]
计算得到
\[ |p_{max} - p_{min}| \leq 0.2\frac{N}{A} = 0.2p \]
这个要求还是比较严的。如果基底平均压力是~$N/A = 150kPa$，那么
\[ p_{max} = 165kPa ,\quad p_{min} = 135kPa \]
不能超过这个范围。这个规定可能是为了抗倾覆和防止重力二阶效应。\newpar


\subsection{平板式筏基}
\btitle{平板式筏基内筒下的板（第8.4.8条）}
受冲切承载力应按下式进行计算
\[ F_l/u_mh_0 \leq 0.7\beta_{hp}f_t/\eta \]
如果矩形内筒的两个外壁尺寸分别为~$a,b$~的话，那么
\[ u_m = 2(a + b) + 4h_0 \]
参数~$F_l$~为相应于作用的基本组合时，内筒所受的轴力设计值减去内筒下筏板
冲切破坏椎体内的基底净反力设计值。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p18.jpg}
\end{center}
净反力就是上图中所示的范围内的应力的积分。假如它是一个常数，净反力就是
\[ p_j(a + 2h)(b + 2h) \]
一个筏板上受冲切的椎体，它有上下两个平面。一个平面小，另一个平面大。冲
切总是从小平面向大平面进行冲切。规范后面的条文解释中有表格“内筒下筏板
厚度比较”。下面取第一个例子计算一下。条件为
\begin{verbatim}
    内筒尺寸：11.3x13.0m
    混凝土强度等级：C30
    标准组合的内筒轴力：128051(kN)
    标准组合的基底净反力：383.4(kN/m2)
    规范名称：GB 50007
    考虑冲切临界截面周长
    筏板高度为：1.39m
\end{verbatim}
下面大致计算一下，某些参数取近似值，看起来差别不大。几个参数为
\[ F_l = 128051 - 383.4\times(11.3 + 2\times 1.39)(13.0 + 2\times 1.39) = 42866(kN) \]
\[ u_m = 2(11.3 + 13.0) + 4\times 1.39 = 54.16(m) \]
结果是
\[ F_l/u_mh_0 = 569.4(kN/m^2) \]
\[ 0.7\beta_{hp}f_t/\eta = 0.7\times 1\times 1.43/1.25 = 0.8(N/mm^2) = 800(kN/m^2) \]
结果是
\[ 569.4 < 800 \]
上面是按标准值计算的。如果冲切力乘以系数~1.4~的话，那么结果是
\[ 1.4\times 569.4 = 797.16 < 800 \]
结果还是满足的。


\subsection{梁板式筏基}
\btitle{底板区格为矩形双向板时，底板受冲切所需的最小厚度}
下面是计算过程。为表示方便起见令
\[ l_1 = l_{n1} \]
\[ l_2 = l_{n2} \]
根据公式
\[ F_l \le 0.7\beta_{hp}f_tu_mh_0 \]
其中
\[ F_l = pA_l \]
\[ A_l = (l_1 - 2h_0)(l_2 - 2h_0) \]
\[ u_m = 2(l_1 + l_2) - 4h_0 \]
代入得到
\[ 0.7\beta_{hp}f_t(2(l_1 + l_2)h_0 - 4h_0^2) = p(l_1l_2 - 2(l_1 + l_2)h_0 + 4h_0^2) \]
\[ 4(0.7\beta_{hp}f_t + p)h_0^2 - 2(0.7\beta_{hp}f_t + p)(l_1 + l_2)h_0 + pl_1l_2 = 0 \]
为方便起见，令
\[ \lambda = 0.7\beta_{hp}f_t \]
那么方程变成了
\[ 4\lambda h_0^2 - 2\lambda(l_1 + l_2)h_0 + pl_1l_2 = 0 \]
\[ 4h_0^2 - 2(l_1 + l_2)h_0 + \frac{pl_1l_2}{\lambda} = 0 \]
解方程得到
\[ h_0 = \frac{1}{4}\left[(l_1 + l_2) \pm \sqrt{(l_1 + l_2)^2 - 
         \frac{4pl_1l_2}{\lambda}}\right] 
\]
所以有
\[ h_0 = \frac{1}{4}\left[(l_1 + l_2) \pm \sqrt{(l_1 + l_2)^2 - 
         \frac{4pl_1l_2}{0.7\beta_{hp}f_t + p}}\right] 
\]
现在，这个结果和规范上的结果很像。至于是减号而不是加号，应该根据不等式判断。
如果列的是不等式，应该是
\[ 4h_0^2 - 2(l_1 + l_2)h_0 + \frac{pl_1l_2}{\lambda} < 0 \]
对于二次函数
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
根据抛物线的性质，因为判别式大于零，方程实际上有两个零点。又因为
\[ a > 0  \]
抛物线开口向上，又因为
\[ f(0) = c > 0 \]
所以两个零点~$x_1,x_2$~都大于零。所以对于上面的不等式应该有
\[ h_0 \in [x_1 , x_2] \]
其中
\[ x_1 = \frac{1}{4}\left[(l_1 + l_2) - \sqrt{(l_1 + l_2)^2 - 
         \frac{4pl_1l_2}{0.7\beta_{hp}f_t + p}}\right] 
\]
\[ x_2 = \frac{1}{4}\left[(l_1 + l_2) + \sqrt{(l_1 + l_2)^2 - 
         \frac{4pl_1l_2}{0.7\beta_{hp}f_t + p}}\right] 
\]
那么就应该是减号。另外，如果底板厚度大于~$x_2$~时，数学结果显示抗冲切不
满足，实际上不是这样。因为在这种情况下，物理模型已经不满足这个方程了，
不想再详细的计算了。对于抗冲切来说，只要大于~$x_1$~就可以了。\newpar

\ctitle{抗冲切与抗剪切的区别}
不知道。\midpar

\ctitle{梁板式筏基双向底板斜截面受剪承载力计算}
见于《建筑地基基础设计规范》第8.4.12条第3款，计算公式是
\[ V_s \leq 0.7\beta_{hs}f_t(l_{n2} - 2h_0)h_0 \]
作用力~$V_s$~作用于一个矩形截面上，矩形截面的高度是~$h_0$，长度
是~$(l_{n2}-2h_0)$。实际上一个矩形区格有四个边，两个对边相同。所以计算
公式应该有两个，分别对应区格的长边和短边。规范上只给出了一个公式，是否
意味着只需要计算长边的斜截面受剪承载力。只要长边的满足了，短边的自动满
足。下面计算一下。\midpar

对于长边来说，剪力设计值和抗力设计值分别是
\[ V_{s2} = \frac{p}{4}\left[2l_{n2} - (l_{n1} + 2h_0)\right](l_{n1} - 2h_0) \]
\[ R_{s2} = 0.7\beta_{hs}f_t(l_{n2} - 2h_0)h_0 \]
对于短边来说，剪力设计值和抗力设计值分别是
\[ V_{s1} = \frac{p}{4}(l_{n1} - 2h_0)^2 \]
\[ R_{s1} = 0.7\beta_{hs}f_t(l_{n1} - 2h_0)h_0 \]
对于这种斜截面受剪承载力验算来说，如果长边验算满足，那么短边验算自动满
足的话，应该有下面的不等式
\[ R_{s1}/V_{s1} > R_{s2}/V_{s2} \]
也就是
\[ \frac{R_{s1}/V_{s1}}{R_{s2}/V_{s2}} > 1 \]
经过计算，左边的计算结果等于
\[ \frac{(l_{n2} - l_{n1}) + (l_{n2} - 2h_0)}{(l_{n1} - 2h_0)} \]
很容易看出，上面的结果是大于1的，并且当长边和短边相等时，结果等于1。这
就是说，长边验算满足的话，短边的验算自然满足。长边是不利的边。果然规范
够简洁，一句话都不多说。



\setcounter{chapter}{8}
\newpage
\chapter{基坑工程}
\section{土压力与水压力}
待续。
